Primer ejemplo :
segundo ejemplo:
Teoria
División :
· La división numérica : dados dos números, dividendo y divisor (no nulo), se trata de hallar otros dos, cociente y resto, con las condiciones siguientes :
Observación: Si el resto R es cero la división es exacta, y se tiene que :
Þ El numero D es divisible por d, o múltiplo de d.
Þ El numero d es un factor de D, o divisor de d.
· División de monomios: La división se hace como un cociente de números y de variables, aplicando la regla del cociente de potencias de la misma base.
· División de un polinomio por un monomio: En general, no es posible la división de un polinomio por un monomio. Para que lo sea es necesario que todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio..
El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada termino del polinomio por el monomio.
· División entera de polinomios en una variable. La división entera de polinomios sigue el mismo proceso que la división de números naturales.
Dividendo = divisor * cociente + resto.
· En el caso particular de la división exacta se dice que :
Þ El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x),
Þ d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x).
· La división numérica : dados dos números, dividendo y divisor (no nulo), se trata de hallar otros dos, cociente y resto, con las condiciones siguientes :
Observación: Si el resto R es cero la división es exacta, y se tiene que :
Þ El numero D es divisible por d, o múltiplo de d.
Þ El numero d es un factor de D, o divisor de d.
· División de monomios: La división se hace como un cociente de números y de variables, aplicando la regla del cociente de potencias de la misma base.
· División de un polinomio por un monomio: En general, no es posible la división de un polinomio por un monomio. Para que lo sea es necesario que todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio..
El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada termino del polinomio por el monomio.
· División entera de polinomios en una variable. La división entera de polinomios sigue el mismo proceso que la división de números naturales.
Dividendo = divisor * cociente + resto.
· En el caso particular de la división exacta se dice que :
Þ El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x),
Þ d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x).
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2 comments
Comments 1 - 2 of 2 comments previous next Post a comment
+ guestbc7ec7 11 months ago
esta muy bien hecho
+ gueste6de31 2 years ago
nada bue
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES. - Presentation Transcript
1. División de polinomios por monomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández
El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene:
como coeficiente , el cociente de los coeficientes;
como parte literal , las letras que aparecen en el dividendo,
cada una con exponente igual a la diferencia del exponente
del dividendo y del divisor. no es un un polinomio El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término del polinomio por el monomio.
2.1 División entera de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x) 0, didivir D(x) entre d(x) es encontrar dos polinomios cociente C(x) y resto R(x) tales que D(x) = d(x) . C(x) + R(x) que se suele esquematizar de la siguiente manera:
Si el resto R(x)= 0 la división se llama exacta , y se dice que
el polinomio D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x); o que
d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x). D(x) d(x) C(x) R(x)
2.2 Ejemplo de división entera MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández x 3 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Primer paso – ( 6x 4 + 4x 3 – 8x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 – x + 2 + 2x 2 – 1 La división entera de polinomios se realiza del mismo modo que la división entera de números naturales. resto – (– 3x 2 – 2x + 4) Se resta (–1) . d cociente Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado 3x 2 +2x–4 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Segundo paso 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 + 2x 2 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 – ( 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 Tercer paso Se resta x 3 . d Se resta 2x 2 . d Cociente de los términos de mayor grado
3. División por x-a. Regla de Ruffini MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Para dividir un polinomio P = 2x 3 – 6x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede usar el siguiente esquema llamado Regla de Ruffini 2 – 6 – 4 12 2 Se opera: 4 – 2 – 4 – 8 – 16 – 4 Hemos obtenido que: P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 = (2x 2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) r se suma se multiplica por a Coeficientes de P a 2 – 6 – 4 12 2 2
4.1 Teorema del resto MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Al dividir P(x) entre x – a obtenemos: Es decir: P(x) = (x – a) C(x) + R Luego P(a) = (a – a) C(a) + R = R El resto de dividir un polinomio P(x) por (x – a) es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a) El resto de dividir P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2 . 2 3 – 7 . 2 2 – 4 . 2 + 12 = – 4 P(x) x – a C(x) R
4.2 Teorema del factor MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Si al dividir P(x) entre x – a obtenemos: Entonces: P(x) = (x – a) C(x) + 0 = (x – a) C(x) que indica que x – a es un factor o divisor del polinomio P(x) Un polinomio P(x) tiene como factor x – a si el valor numérico del polinomio para x = a es 0 Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero. a es raíz de P(x) P(a) = 0 Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. P(x) x – a C(x) 0
5. Raíces de un polinomio. Número de raíces MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio P(x) entre x-a la división es exacta, o sea, su resto es cero. a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 ⇔ Resto de (P(x):(x-a)) = 0 Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Este enunciado es conocido como el Teorema fundamental del álgebra.
6. Cálculo de las raíces enteras de un polinomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, éstas son divisores del término independiente. Sea por ejemplo P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d Si r es una raíz (entera) de P(x) entonces ar 3 +br 2 +cr+d = 0 Entonces: r(ar 2 +br+c) = – d De aquí que se deduce que r divide a d ya que ar 2 +br+c es un número entero. Por tanto las raíces enteras de un polinomio han de ser buscadas entre los divisores del término independiente.
7.1 Factorización de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios,
no constantes, tales que su producto sea el polinomio dado.
Si el polinomio P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a o ;tiene
n raíces reales r 1 , r 2 , ... , r n se demuestra que la descomposición factorial es:
P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) ... (x – r n ) Factorizar el polinomio P = x 4 + 3x 3 – x 2 – 3x
Se iguala el polinomio a cero: x 4 + 3x 3 – x 2 – 3x = 0
Se saca factor común x: x(x 3 + 3x 2 – x – 3) = 0
Una raíz es x = 0
Se calculan las raíces de x 3 + 3x 2 – x – 3 = 0
Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3
Obtenemos que 1, –1 y –3 son raíces de x 3 + 3x 2 – x – 3 = 0.
Por tanto las raíces de P son: 0, 1, –1 y –3
La factorización de P es: (x – 0)(x – 1)(x + 1) (x + 4) = x(x – 1)(x + 1)(x + 4)
7.2 Interpretación geométrica de la factorización de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández
para mas informacion:
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