factorizacion:
Factorizar un polinomio [editar]
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Caso I - Factor común [editar]
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio [editar]
Factor común por agrupación de términos
si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio [editar]
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1
Caso II - Factor común por agrupación de términos [editar]
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el primer caso (Factor común)
Caso III - Cuadrado Perfecto (C.P.) [editar]
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados [editar]
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo 1: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción [editar]
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están meramente a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c [editar]
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n [editar]
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c [editar]
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término (4x2)
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente.
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2
Queda así terminada la factorización
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios [editar]
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:
Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.
Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.
Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.
Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
Después se despeja X en los dos factores.
Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.
Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:
x2 - 28x + 187 = 0
(X ) (X ) = 0
(X - ) (X ) = 0
(X - ) (X - ) = 0
187 11
17 17
1
(X - 17) (X - 11) = 0
X - 17 = 0 X - 11 = 0
X1 = 17 X2= 11
FORMULA GENERAL
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:
En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:
-b + b2 - 4 a c
2a
Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.
Un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática por este método es el siguiente:
x2 - 28x + 187 = 0
a = 1 b = -28 c = 187
- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)
2 (1)
28+ 784 - 748
2
28+ 36
2
28+ 6
2
28+ 6 34 X1 = 17
2 2
28- 6 22 X2 =11 2 2
X1, y X2, son el resultado que se obtuvo de la ecuación, por tanto son las dos posibles soluciones para X.
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Caso I - Factor común [editar]
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio [editar]
Factor común por agrupación de términos
si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio [editar]
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1
Caso II - Factor común por agrupación de términos [editar]
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el primer caso (Factor común)
Caso III - Cuadrado Perfecto (C.P.) [editar]
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados [editar]
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo 1: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción [editar]
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están meramente a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c [editar]
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n [editar]
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c [editar]
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término (4x2)
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente.
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2
Queda así terminada la factorización
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios [editar]
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:
Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.
Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.
Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.
Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
Después se despeja X en los dos factores.
Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.
Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:
x2 - 28x + 187 = 0
(X ) (X ) = 0
(X - ) (X ) = 0
(X - ) (X - ) = 0
187 11
17 17
1
(X - 17) (X - 11) = 0
X - 17 = 0 X - 11 = 0
X1 = 17 X2= 11
FORMULA GENERAL
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:
En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:
-b + b2 - 4 a c
2a
Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.
Un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática por este método es el siguiente:
x2 - 28x + 187 = 0
a = 1 b = -28 c = 187
- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)
2 (1)
28+ 784 - 748
2
28+ 36
2
28+ 6
2
28+ 6 34 X1 = 17
2 2
28- 6 22 X2 =11 2 2
X1, y X2, son el resultado que se obtuvo de la ecuación, por tanto son las dos posibles soluciones para X.
con el video:
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